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<!DOCTYPE html>
<html lang="en-US">
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    <meta
        http-equiv="Content-Type"
        content="text/html; charset=UTF-8"
    ></meta>

    <link
        href="styles.css"
        rel="stylesheet"
        type="text/css"
    ></link>

    <script type="text/x-mathjax-config">
        MathJax.Hub.Config({
                       jax: ["input/MathML", "output/SVG"],
                extensions: ["mml2jax.js"],
                    MathML: { extensions: ["content-mathml.js"] },
                       SVG: { blacker: 0 }
            });
    </script>

    <script
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        src="mathjax/MathJax.js"
    ></script>
</head>

<body>

    <p>
  When \(a \ne 0\), there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are
  $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$
</p>
    <div class="mathmlcontainer flexcontainer">
        <div>
            <math>
                <mtable columnalign="left">
                    <mtr>
                        <mtd>
                            <mrow>
                                <mrow>
                                    <mrow>
                                        <mrow>
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                                            <mi>a</mi>

                                            <mo>⁢</mo>

                                            <msup>
                                                <mi>x</mi>

                                                <mn>2</mn>
                                            </msup>
                                        </mrow>

                                        <mo>+</mo>

                                        <mi>b</mi>

                                        <mo>⁢</mo>

                                        <mi>x</mi>
                                    </mrow>

                                    <mo>+</mo>

                                    <mi>c</mi>
                                </mrow>

                                <mo>=</mo>

                                <mn>0</mn>
                            </mrow>
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                    </mtr>

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                        <mtd>
                            <mrow>
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                                    <mo>⁢</mo>

                                    <msup>
                                        <mi>x</mi>

                                        <mn>2</mn>
                                    </msup>
                                </mrow>

                                <mo>+</mo>

                                <mi>b</mi>

                                <mo>⁢</mo>

                                <mi>x</mi>

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                            <mo>=</mo>

                            <mo>-</mo>

                            <mi>c</mi>

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                                        <mi>x</mi>

                                        <mn>2</mn>
                                    </msup>
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                                <mo>+</mo>

                                <mfrac>
                                    <mrow>
                                        <mi>b</mi>
                                    </mrow>

                                    <mi>a</mi>
                                </mfrac>

                                <mo>⁤</mo>

                                <mi>x</mi>
                            </mrow>

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                            <mo>=</mo>

                            <mfrac>
                                <mrow>
                                    <mo>-</mo>

                                    <mi>c</mi>
                                </mrow>

                                <mi>a</mi>
                            </mfrac>

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                                depth="1ex"
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                            <mrow>
                                <mtext
                                    mathcolor="red"
                                    mathsize="10pt"
                                >
                                    Divide out leading coefficient.
                                </mtext>
                            </mrow>
                        </mtd>
                    </mtr>

                    <mtr>
                        <mtd>
                            <mrow>
                                <mrow>
                                    <mrow>
                                        <mspace
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                                        <msup>
                                            <mi>x</mi>

                                            <mn>2</mn>
                                        </msup>
                                    </mrow>

                                    <mo>+</mo>

                                    <mfrac>
                                        <mrow>
                                            <mi>b</mi>
                                        </mrow>

                                        <mi>a</mi>
                                    </mfrac>

                                    <mo>⁤</mo>

                                    <mi>x</mi>

                                    <mo>+</mo>

                                    <msup>
                                        <mfenced>
                                            <mfrac>
                                                <mrow>
                                                    <mi>b</mi>
                                                </mrow>

                                                <mrow>
                                                    <mn>2</mn>

                                                    <mi>a</mi>
                                                </mrow>
                                            </mfrac>
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                                        <mn>2</mn>
                                    </msup>
                                </mrow>

                                <mo>=</mo>

                                <mfrac>
                                    <mrow>
                                        <mo>-</mo>

                                        <mi>c</mi>

                                        <mo>(</mo>

                                        <mn>4</mn>

                                        <mi>a</mi>

                                        <mo>)</mo>
                                    </mrow>

                                    <mrow>
                                        <mi>a</mi>

                                        <mo>(</mo>

                                        <mn>4</mn>

                                        <mi>a</mi>

                                        <mo>)</mo>
                                    </mrow>
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                            <mo>+</mo>

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                                        <mi>b</mi>

                                        <mn>2</mn>
                                    </msup>
                                </mrow>

                                <mrow>
                                    <mn>4</mn>

                                    <msup>
                                        <mi>a</mi>

                                        <mn>2</mn>
                                    </msup>
                                </mrow>
                            </mfrac>

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                                <mtext
                                    mathcolor="red"
                                    mathsize="10pt"
                                >Complete the square.</mtext>
                            </mrow>
                        </mtd>
                    </mtr>

                    <mtr>
                        <mtd>
                            <mrow>
                                <mrow>
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                                    <mi>x</mi>

                                    <mo>+</mo>

                                    <mfrac>
                                        <mrow>
                                            <mi>b</mi>
                                        </mrow>

                                        <mrow>
                                            <mn>2</mn>

                                            <mi>a</mi>
                                        </mrow>
                                    </mfrac>

                                    <mo>)</mo>

                                    <mo>(</mo>

                                    <mi>x</mi>

                                    <mo>+</mo>

                                    <mfrac>
                                        <mrow>
                                            <mi>b</mi>
                                        </mrow>

                                        <mrow>
                                            <mn>2</mn>

                                            <mi>a</mi>
                                        </mrow>
                                    </mfrac>

                                    <mo>)</mo>

                                    <mo>=</mo>

                                    <mfrac>
                                        <mrow>
                                            <msup>
                                                <mi>b</mi>

                                                <mn>2</mn>
                                            </msup>

                                            <mo>-</mo>

                                            <mn>4</mn>

                                            <mi>a</mi>

                                            <mi>c</mi>
                                        </mrow>

                                        <mrow>
                                            <mn>4</mn>

                                            <msup>
                                                <mi>a</mi>

                                                <mn>2</mn>
                                            </msup>
                                        </mrow>
                                    </mfrac>
                                </mrow>

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                                    <mtext
                                        mathcolor="red"
                                        mathsize="10pt"
                                    >Discriminant revealed.</mtext>
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                            </mrow>
                        </mtd>
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                                            <mo>(</mo>

                                            <mi>x</mi>

                                            <mo>+</mo>

                                            <mfrac>
                                                <mrow>
                                                    <mi>b</mi>
                                                </mrow>

                                                <mrow>
                                                    <mn>2</mn>

                                                    <mi>a</mi>
                                                </mrow>
                                            </mfrac>

                                            <mo>)</mo>
                                        </mrow>

                                        <mn>2</mn>
                                    </msup>

                                    <mo>=</mo>

                                    <mfrac>
                                        <mrow>
                                            <msup>
                                                <mi>b</mi>

                                                <mn>2</mn>
                                            </msup>

                                            <mo>-</mo>

                                            <mn>4</mn>

                                            <mi>a</mi>

                                            <mi>c</mi>
                                        </mrow>

                                        <mrow>
                                            <mn>4</mn>

                                            <msup>
                                                <mi>a</mi>

                                                <mn>2</mn>
                                            </msup>
                                        </mrow>
                                    </mfrac>
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                                                <mi>b</mi>
                                            </mrow>

                                            <mrow>
                                                <mn>2</mn>

                                                <mi>a</mi>
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                                    </mrow>

                                    <mo>=</mo>

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                                                <msup>
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                                                    <mn>2</mn>
                                                </msup>

                                                <mo>-</mo>

                                                <mn>4</mn>

                                                <mi>a</mi>

                                                <mi>c</mi>
                                            </mrow>

                                            <mrow>
                                                <mn>4</mn>

                                                <msup>
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                                    <mo>±</mo>

                                    <mrow>
                                        <mo>{</mo>

                                        <mi>C</mi>

                                        <mo>}</mo>
                                    </mrow>

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                                                </msup>

                                                <mo>-</mo>

                                                <mn>4</mn>

                                                <mi>a</mi>

                                                <mi>c</mi>
                                            </mrow>

                                            <mrow>
                                                <mn>4</mn>

                                                <msup>
                                                    <mi>a</mi>

                                                    <mn>2</mn>
                                                </msup>
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                                    >There's the vertex formula.</mtext>
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                        </mtd>
                    </mtr>

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                                        <mi>x</mi>
                                    </mrow>

                                    <mo>=</mo>

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                                        <mrow>
                                            <mo>-</mo>

                                            <mi>b</mi>

                                            <mo>±</mo>

                                            <mrow>
                                                <mo>{</mo>

                                                <mi>C</mi>

                                                <mo>}</mo>
                                            </mrow>

                                            <msqrt>
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                                                </msup>

                                                <mo>-</mo>

                                                <mn>4</mn>

                                                <mi>a</mi>

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                                        <mrow>
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                        4

                        <sep></sep>
                        5
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                    <cn type="complex-polar">
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                        <sep></sep>
                        4.56
                    </cn>

                    <cn type="constant">&pi;</cn>

                    <cn>&ExponentialE;</cn>

                    <cn>&ee;</cn>

                    <cn>&ImaginaryI;</cn>

                    <cn>&ii;</cn>

                    <cn>&gamma;</cn>

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                    <cn type="complex-cartesian">
                        17

                        <sep></sep>
                        29
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                <mo>)</mo>

                <mtext>&nbsp; or &nbsp;</mtext>

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                    </mrow>
                </mfrac>
            </math>
        </div>

        <div>
            <math>
                <munderover>
                    <mo moveablelimits="false">&sum;</mo>

                    <mrow>
                        <mi>n</mi>

                        <mo>=</mo>

                        <mn>0</mn>
                    </mrow>

                    <mi>t</mi>
                </munderover>

                <mi>f</mi>

                <mn>(</mn>

                <mn>2</mn>

                <mi>n</mi>

                <mn>)</mn>

                <mo>+</mo>

                <munderover>
                    <mo moveablelimits="false">&sum;</mo>

                    <mrow>
                        <mi>n</mi>

                        <mo>=</mo>

                        <mn>0</mn>
                    </mrow>

                    <mi>t</mi>
                </munderover>

                <mi>f</mi>

                <mn>(</mn>

                <mn>2</mn>

                <mi>n</mi>

                <mo>+</mo>

                <mn>1</mn>

                <mn>)</mn>

                <mo>=</mo>

                <munderover>
                    <mo moveablelimits="false">&sum;</mo>

                    <mrow>
                        <mi>n</mi>

                        <mo>=</mo>

                        <mn>0</mn>
                    </mrow>

                    <mrow>
                        <mn>2</mn>

                        <mi>t</mi>

                        <mo>+</mo>

                        <mn>1</mn>
                    </mrow>
                </munderover>

                <mi>f</mi>

                <mn>(</mn>

                <mi>n</mi>

                <mn>)</mn>
            </math>
        </div>

        <div>
            <math>
                <msqrt>
                    <msup>
                        <mi>x</mi>

                        <mn>2</mn>
                    </msup>
                </msqrt>

                <mo>=</mo>

                <mo stretchy="false">|</mo>

                <mi>x</mi>

                <mo stretchy="false">|</mo>

                <mo>=</mo>

                <mo>{</mo>

                <mtable>
                    <mtr>
                        <mi>+x</mi>

                        <mtext>, if</mtext>

                        <mi>x</mi>

                        <mo>&#62;</mo>

                        <mn>0</mn>
                    </mtr>

                    <mtr>
                        <mn>0</mn>

                        <mtext>, if</mtext>

                        <mi>x</mi>

                        <mo>=</mo>

                        <mn>0</mn>
                    </mtr>

                    <mtr>
                        <mi>&minus;x</mi>

                        <mtext>, if</mtext>

                        <mi>x</mi>

                        <mo>&#60;</mo>

                        <mn>0</mn>
                    </mtr>
                </mtable>
            </math>
        </div>

        <div>
            <math>
                <mi>H</mi>

                <mo stretchy="false">(</mo>

                <mi>j</mi>

                <mi>&omega;</mi>

                <mo stretchy="false">)</mo>

                <mo>=</mo>

                <mo>{</mo>

                <mtable>
                    <mtr>
                        <msup>
                            <mi>x</mi>

                            <msub>
                                <mrow>
                                    <mo>&minus;</mo>

                                    <mi>j</mi>

                                    <mi>&omega;</mi>

                                    <mi>&sigma;</mi>
                                </mrow>

                                <mn>0</mn>
                            </msub>
                        </msup>

                        <mtext>for</mtext>

                        <mo>|</mo>

                        <mi>&omega;</mi>

                        <mo>|</mo>

                        <mo>&#60;</mo>

                        <msub>
                            <mi>&omega;</mi>

                            <mi>&sigma;</mi>
                        </msub>
                    </mtr>

                    <mtr>
                        <mn>0</mn>

                        <mtext>for</mtext>

                        <mo>|</mo>

                        <mi>&omega;</mi>

                        <mo>|</mo>

                        <mo></mo>

                        <msub>
                            <mi>&omega;</mi>

                            <mi>&sigma;</mi>
                        </msub>
                    </mtr>
                </mtable>
            </math>
        </div>

        <div>
            <math>
                <mrow>
                    <mi>x</mi>

                    <mo>=</mo>

                    <mfrac>
                        <mrow>
                            <mrow>
                                <mo>-</mo>

                                <mi>b</mi>
                            </mrow>

                            <mo>±</mo>

                            <msqrt>
                                <mrow>
                                    <msup>
                                        <mi>b</mi>

                                        <mn>2</mn>
                                    </msup>

                                    <mo>-</mo>

                                    <mrow>
                                        <mn>4</mn>

                                        <mo>⁢</mo>

                                        <mi>a</mi>

                                        <mo>⁢</mo>

                                        <mi>c</mi>
                                    </mrow>
                                </mrow>
                            </msqrt>
                        </mrow>

                        <mrow>
                            <mn>2</mn>

                            <mo>⁢</mo>

                            <mi>a</mi>
                        </mrow>
                    </mfrac>
                </mrow>
            </math>
        </div>

        <div>
            <math>
                <mi>f</mi>

                <mo>'</mo>

                <mn>(</mn>

                <mi>a</mi>

                <mn>)</mn>

                <mo>=</mo>

                <munder>
                    <mo moveablelimits="false">lim</mo>

                    <mi>h&rarr;0</mi>
                </munder>

                <mfrac>
                    <mrow>
                        <mi>f</mi>

                        <mo>(</mo>

                        <mi>a</mi>

                        <mi>+</mi>

                        <mi>h</mi>

                        <mo>)</mo>

                        <mo>&minus;</mo>

                        <mi>f</mi>

                        <mo>(</mo>

                        <mi>a</mi>

                        <mo>)</mo>
                    </mrow>

                    <mi>h</mi>
                </mfrac>
            </math>
        </div>

        <div>
            <math>
                <mstyle displaystyle="true">
                    <mn>1</mn>

                    <mo>+</mo>

                    <munderover>
                        <mo moveablelimits="false">&sum;</mo>

                        <mrow>
                            <mi>k</mi>

                            <mo>=</mo>

                            <mn>1</mn>
                        </mrow>

                        <mn>&infin;</mn>
                    </munderover>

                    <mfrac>
                        <mrow>
                            <msup>
                                <mi>q</mi>

                                <msup>
                                    <mrow>
                                        <mi>k</mi>

                                        <mo>+</mo>

                                        <mi>k</mi>
                                    </mrow>

                                    <mn>2</mn>
                                </msup>
                            </msup>
                        </mrow>

                        <mrow>
                            <mo>(</mo>

                            <mn>1</mn>

                            <mo>&minus;</mo>

                            <mi>q</mi>

                            <mo>)</mo>

                            <mo>(</mo>

                            <mn>1</mn>

                            <mo>&minus;</mo>

                            <msup>
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                                <mn>2</mn>
                            </msup>

                            <mo>)</mo>

                            <mtext>&#8230;</mtext>

                            <mo>(</mo>

                            <mn>1</mn>

                            <mo>&minus;</mo>

                            <msup>
                                <mi>q</mi>

                                <mn>k</mn>
                            </msup>

                            <mo>)</mo>
                        </mrow>
                    </mfrac>

                    <mo>=</mo>

                    <munderover>
                        <mo moveablelimits="false">&prod;</mo>

                        <mrow>
                            <mi>j</mi>

                            <mo>=</mo>

                            <mn>0</mn>
                        </mrow>

                        <mn>&infin;</mn>
                    </munderover>

                    <mfrac>
                        <mrow>
                            <mn>1</mn>
                        </mrow>

                        <mrow>
                            <mo>(</mo>

                            <mn>1</mn>

                            <mo>&minus;</mo>

                            <msup>
                                <mi>q</mi>

                                <mrow>
                                    <mn>5</mn>

                                    <mi>j</mi>

                                    <mo>+</mo>

                                    <mn>2</mn>
                                </mrow>
                            </msup>

                            <mo>)</mo>

                            <mo>(</mo>

                            <mn>1</mn>

                            <mo>&minus;</mo>

                            <msup>
                                <mi>q</mi>

                                <mrow>
                                    <mn>5</mn>

                                    <mi>j</mi>

                                    <mo>+</mo>

                                    <mn>3</mn>
                                </mrow>
                            </msup>

                            <mo>)</mo>
                        </mrow>
                    </mfrac>

                    <mtext>, for &nbsp;</mtext>

                    <mtext>|</mtext>

                    <mi>q</mi>

                    <mtext>|</mtext>

                    <mo>&#60;</mo>

                    <mn>1</mn>
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